東京海洋大学
2014年 海洋工 第5問
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$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，$\displaystyle I_k=\int_0^{\log 2} (e^x-1)^k \, dx$とおく．
(1) $0 \leqq x \leqq \log 2$のとき，$\displaystyle 0 \leqq e^x-1 \leqq \frac{x}{\log 2}$が成り立つことを示せ．ただし，$e>2$であることを用いてよい．
(2) $I_k+I_{k+1}$を$k$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^n \frac{1}{n+1}=I_0+(-1)^n I_{n+1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{k+1}$を求めよ．
(1) $0 \leqq x \leqq \log 2$のとき，$\displaystyle 0 \leqq e^x-1 \leqq \frac{x}{\log 2}$が成り立つことを示せ．ただし，$e>2$であることを用いてよい．
(2) $I_k+I_{k+1}$を$k$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^n \frac{1}{n+1}=I_0+(-1)^n I_{n+1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{k+1}$を求めよ．
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