空間のベクトル$\overrightarrow{n}=(1,\ -1,\ 1)$，$\overrightarrow{a}=(\sqrt{2},\ -2 \sqrt{2},\ 0)$に対し，以下の設問に答えよ．
(1) $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{b}=0$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$，$|\overrightarrow{b}|=1$をみたすベクトル$\overrightarrow{b}$を$1$つ求めよ．
(2) $(1)$で求めた$\overrightarrow{b}$に対し，$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{c}=0$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=0$，$|\overrightarrow{c}|=1$をみたすベクトル$\overrightarrow{c}$を$1$つ求めよ．
(3) $s,\ t$を実数とし，$(1)$と$(2)$で求めた$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{p}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$とおく．$|\overrightarrow{p}|=1$であるとき，$|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|$の最小値を求めよ．また，そのときの$\overrightarrow{p}$を求めよ．