東京医科大学
2014年 医学部 第2問
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![次の[]を埋めよ．(1)2つのベクトルベクトルp=(3cost,2sint)，ベクトルq=(3cos(t+π/3),2sin(t+π/3))を考える．tが0≦t≦πの範囲を動くとき，内積ベクトルp・ベクトルqの最大値をM，最小値をmとすればM=\frac{[アイ]}{[ウ]},m=\frac{[エ]}{[オ]}である．(2)数列{a_n}をa_n=\frac{1}{n^5}Σ_{k=1}^nk^4(n=1,2,3,・・・)と定める．このとき{a_n}は収束し，α=\lim_{n→∞}a_nとすればα=\frac{[カ]}{[キ]}である．さらにこれらのa_n,αを用いて，数列{b_n}をb_n=(α-a_n)n(n=1,2,3,・・・)と定めれば{b_n}も収束し，β=\lim_{n→∞}b_nとすればβ=\frac{[クケ]}{[コ]}である．](./thumb/244/3202/2014_2.png)
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次の$\fbox{}$を埋めよ．
(1) $2$つのベクトル$\overrightarrow{p}=(3 \cos t,\ 2 \sin t)$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\left( 3 \cos \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\ 2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right) \right)$を考える．$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲を動くとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば \[ M=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}},\quad m=\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}} \] である．
(2) 数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^5} \sum_{k=1}^n k^4 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定める．このとき$\{a_n\}$は収束し，$\displaystyle \alpha=\lim_{n \to \infty}a_n$とすれば \[ \alpha=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \] である．さらにこれらの$a_n,\ \alpha$を用いて，数列$\{b_n\}$を$b_n=(\alpha-a_n)n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定めれば$\{b_n\}$も収束し，$\displaystyle \beta=\lim_{n \to \infty}b_n$とすれば \[ \beta=\frac{\fbox{クケ}}{\fbox{コ}} \] である．
(1) $2$つのベクトル$\overrightarrow{p}=(3 \cos t,\ 2 \sin t)$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\left( 3 \cos \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\ 2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right) \right)$を考える．$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲を動くとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば \[ M=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}},\quad m=\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}} \] である．
(2) 数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^5} \sum_{k=1}^n k^4 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定める．このとき$\{a_n\}$は収束し，$\displaystyle \alpha=\lim_{n \to \infty}a_n$とすれば \[ \alpha=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \] である．さらにこれらの$a_n,\ \alpha$を用いて，数列$\{b_n\}$を$b_n=(\alpha-a_n)n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定めれば$\{b_n\}$も収束し，$\displaystyle \beta=\lim_{n \to \infty}b_n$とすれば \[ \beta=\frac{\fbox{クケ}}{\fbox{コ}} \] である．
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