筑波大学
2016年 理系 第3問
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![四面体OABCにおいて,ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおく.このとき等式ベクトルa・ベクトルb=ベクトルb・ベクトルc=ベクトルc・ベクトルa=1が成り立つとする.tは実数の定数で,0<t<1を満たすとする.線分OAをt:1-tに内分する点をPとし,線分BCをt:1-tに内分する点をQとする.また,線分PQの中点をMとする.(1)ベクトルOMをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcとtを用いて表せ.(2)線分OMと線分BMの長さが等しいとき,線分OBの長さを求めよ.(3)4点O,A,B,Cが点Mを中心とする同一球面上にあるとする.このとき,△OABと△OCBは合同であることを示せ.](./thumb/86/1824/2016_3.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.このとき等式
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=1 \]
が成り立つとする.$t$は実数の定数で,$0<t<1$を満たすとする.線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし,線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.また,線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ.
(2) 線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき,線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.
(3) $4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする.このとき,$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ.
(2) 線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき,線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.
(3) $4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする.このとき,$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ.
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