岩手大学
2011年 理工学部 第3問
3
![数列{a_n}がa_1=1/2,a_{n+1}=\frac{(n^2+n)a_n}{n^2+n+a_n}(n=1,2,3,・・・)で定められるとき,次の問いに答えよ.(1)数列{b_n}がb_n=\frac{1-a_n}{a_n}で与えられるとき,b_1,b_2,b_3の値を求めよ.(2)(1)における{b_n}の階差数列{c_n}の一般項,および{a_n}の一般項を求めよ.(3)不等式Σ_{k=2}^n\frac{a_k}{3k+1}<1/18log\frac{9n^2}{8}が成り立つことを示せ.ただし,n≧2とする.](./thumb/47/2079/2011_3.png)
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数列$\{a_n\}$が
\[ a_1 =\frac{1}{2},\ a_{n+1} = \frac{(n^2 +n)a_n}{n^2 +n+a_n} \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき,次の問いに答えよ.
(1) 数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1-a_n}{a_n}$で与えられるとき,$b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めよ.
(2) (1)における$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$の一般項,および$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3) 不等式 \[ \sum_{k=2}^n \frac{a_k}{3k+1} < \frac{1}{18} \log \frac{9n^2}{8} \] が成り立つことを示せ.ただし,$n \geqq 2$とする.
(1) 数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1-a_n}{a_n}$で与えられるとき,$b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めよ.
(2) (1)における$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$の一般項,および$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3) 不等式 \[ \sum_{k=2}^n \frac{a_k}{3k+1} < \frac{1}{18} \log \frac{9n^2}{8} \] が成り立つことを示せ.ただし,$n \geqq 2$とする.
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