東京医科歯科大学
2010年 医学部 第2問
2
2
座標空間において,8点O$(0,\ 0,\ 0)$,A$(1,\ 0,\ 0)$,B$(0,\ 1,\ 0)$,C$(0,\ 0,\ 1)$,D$(0,\ 1,\ 1)$,E$(1,\ 0,\ 1)$,F$(1,\ 1,\ 0)$,G$(1,\ 1,\ 1)$をとり,この8点を頂点とする立方体を$Q$とする.また点P$(x,\ y,\ z)$と正の実数$t$に対し,6点$(x+t,\ y,\ z)$,$(x-t,\ y,\ z)$,$(x,\ y+t,\ z)$,$(x,\ y-t,\ z)$,$(x,\ y,\ z+t)$,$(x,\ y,\ z-t)$を頂点とする正八面体を$\alpha_t(\text{P})$,その外部の領域を$\beta_t(\text{P})$で表す.ただし,立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) $0 < t \leqq 1$のとき,$Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F})$の体積,すなわち5個の領域$Q$,$\beta_t(\text{O})$,$\beta_t(\text{D})$,$\beta_t(\text{E})$,$\beta_t(\text{F})$の共通部分の体積を$t$で表せ.
(2) $Q \cap \alpha_1(\text{O}) \cap \beta_1(\text{A}) \cap \beta_1(\text{B}) \cap \beta_1(\text{C})$の体積を求めよ.
(3) $\displaystyle 0< t \leqq 1$のとき, \[ Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{A}) \cap \beta_t(\text{B}) \cap \beta_t(\text{C}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F}) \cap \beta_t(\text{G}) \] の体積を$t$で表せ.
(1) $0 < t \leqq 1$のとき,$Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F})$の体積,すなわち5個の領域$Q$,$\beta_t(\text{O})$,$\beta_t(\text{D})$,$\beta_t(\text{E})$,$\beta_t(\text{F})$の共通部分の体積を$t$で表せ.
(2) $Q \cap \alpha_1(\text{O}) \cap \beta_1(\text{A}) \cap \beta_1(\text{B}) \cap \beta_1(\text{C})$の体積を求めよ.
(3) $\displaystyle 0< t \leqq 1$のとき, \[ Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{A}) \cap \beta_t(\text{B}) \cap \beta_t(\text{C}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F}) \cap \beta_t(\text{G}) \] の体積を$t$で表せ.
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。