東京医科歯科大学
2015年 歯学部 第2問
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$n$を自然数,$m$を$2n$以下の自然数とする.$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが,それぞれの数に対して$2$枚ずつ,合計$2n$枚ある.この中から,$m$枚のカードを無作為に選んだとき,それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す.ただし$P_n(1)=1$とする.さらに,
\[ E_n(m)=mP_n(m) \]
とおく.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ.
(2) $E_{10}(3),\ E_{10}(4),\ E_{10}(5)$の中で最大のものはどれか.
(3) 自然数$n$に対し, \[ E_n(m)>E_n(m+1) \] を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき,$f(n)$を$n$を用いて表せ.ただし,ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい.ここで,実数$x$に対して,$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す.
(1) $P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ.
(2) $E_{10}(3),\ E_{10}(4),\ E_{10}(5)$の中で最大のものはどれか.
(3) 自然数$n$に対し, \[ E_n(m)>E_n(m+1) \] を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき,$f(n)$を$n$を用いて表せ.ただし,ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい.ここで,実数$x$に対して,$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す.
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