東京医科歯科大学
2013年 医学部 第3問
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$m,\ n$を自然数として,関数$f(x)=x^m(1-x)^n$を考える.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$m,\ n$を用いて表せ.
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を$m,\ n$を用いて表せ.
(3) $a,\ b,\ c$を実数として,関数$g(x)=ax^2+bx+c$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値を$M(a,\ b,\ c)$とする.次の2条件$\tokeiichi,\ \tokeini$が成立するとき,$M(a,\ b,\ c)$の最小値を$m,\ n$を用いて表せ.
(ⅰ) $g(0)=g(1)=0$
(ⅱ) $0<x<1$のとき$f(x) \leqq g(x)$
(4) $m,\ n$が2以上の自然数で$m>n$であるとき \[ \frac{(m+n+1)!}{m!n!}>\frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}>2^{2n-1} \] が成立することを示せ.
(1) $0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$m,\ n$を用いて表せ.
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を$m,\ n$を用いて表せ.
(3) $a,\ b,\ c$を実数として,関数$g(x)=ax^2+bx+c$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値を$M(a,\ b,\ c)$とする.次の2条件$\tokeiichi,\ \tokeini$が成立するとき,$M(a,\ b,\ c)$の最小値を$m,\ n$を用いて表せ.
(ⅰ) $g(0)=g(1)=0$
(ⅱ) $0<x<1$のとき$f(x) \leqq g(x)$
(4) $m,\ n$が2以上の自然数で$m>n$であるとき \[ \frac{(m+n+1)!}{m!n!}>\frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}>2^{2n-1} \] が成立することを示せ.
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