電気通信大学
2012年 理系 第2問
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![区間0≦x≦πで連続な関数f(x)に対して,定積分I=∫_0^π{tsinx-f(x)}^2dx(t は実数 )を考える.定数c_1,c_2,c_3をc_1=∫_0^πsin^2xdx,c_2=∫_0^πf(x)sinxdx,c_3=∫_0^π{f(x)}^2dxと定めるとき,以下の問いに答えよ.(1)Iを,tおよびc_1,c_2,c_3を用いて表せ.(2)c_1の値を求めよ.\\以下では,Iを最小にするtの値をt_0とし,その最小値をI_0とする.(3)t_0をc_2を用いて表せ.また,I_0をc_2,c_3を用いて表せ.(4)次の定積分A,Bの値を求めよ.A=∫_0^πxsinxdx,B=∫_0^πxcosxdx(5)f(x)=x(π-x)のとき,c_2,c_3およびI_0の値をそれぞれ求めよ.](./thumb/178/2358/2012_2.png)
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区間$0 \leqq x \leqq \pi$で連続な関数$f(x)$に対して,定積分
\[ I=\int_0^\pi \{t \sin x-f(x) \}^2 \, dx \quad (t \text{は実数}) \]
を考える.定数$c_1,\ c_2,\ c_3$を
\[ c_1=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx,\quad c_2=\int_0^\pi f(x) \sin x \, dx,\quad c_3=\int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
と定めるとき,以下の問いに答えよ.
(1) $I$を,$t$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を用いて表せ.
(2) $c_1$の値を求めよ. \\ 以下では,$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし,その最小値を$I_0$とする.
(3) $t_0$を$c_2$を用いて表せ.また,$I_0$を$c_2,\ c_3$を用いて表せ.
(4) 次の定積分$A,\ B$の値を求めよ. \[ A=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad B=\int_0^\pi x \cos x \, dx \]
(5) $f(x)=x(\pi-x)$のとき,$c_2,\ c_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ.
(1) $I$を,$t$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を用いて表せ.
(2) $c_1$の値を求めよ. \\ 以下では,$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし,その最小値を$I_0$とする.
(3) $t_0$を$c_2$を用いて表せ.また,$I_0$を$c_2,\ c_3$を用いて表せ.
(4) 次の定積分$A,\ B$の値を求めよ. \[ A=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad B=\int_0^\pi x \cos x \, dx \]
(5) $f(x)=x(\pi-x)$のとき,$c_2,\ c_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ.
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