電気通信大学
2016年 理系 第4問
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![関数f(x)=\frac{logx}{√x}(x>0)に対して,曲線C:y=f(x)を考える.以下の問いに答えよ.ただし,logxはeを底とする自然対数を表す.(1)導関数f´(x)を求めよ.さらに,f(x)の最大値とそのときのxの値x_0を求めよ.(2)曲線C,x軸および直線x=eで囲まれた図形をDとする.Dの面積Sを求めよ.(3)図形Dをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ.(4)曲線C上の点(t,f(t))における接線ℓを考える.t>x_0のとき,接線ℓがx軸,y軸と交わる点をそれぞれP,Qとする.原点をOとして,三角形OPQの面積g(t)をtの式で表せ.(5)極限値\lim_{t→∞}\frac{g(t)}{√tlogt}を求めよ.](./thumb/178/2358/2016_4.png)
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関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} \quad (x>0) \]
に対して,曲線$C:y=f(x)$を考える.以下の問いに答えよ.ただし,$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す.
(1) 導関数$f^\prime(x)$を求めよ.さらに,$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値$x_0$を求めよ.
(2) 曲線$C$,$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を$D$とする.$D$の面積$S$を求めよ.
(3) 図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
(4) 曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$を考える.$t>x_0$のとき,接線$\ell$が$x$軸,$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.原点を$\mathrm{O}$として,三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$g(t)$を$t$の式で表せ.
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{g(t)}{\sqrt{t} \log t}$を求めよ.
(1) 導関数$f^\prime(x)$を求めよ.さらに,$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値$x_0$を求めよ.
(2) 曲線$C$,$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を$D$とする.$D$の面積$S$を求めよ.
(3) 図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
(4) 曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$を考える.$t>x_0$のとき,接線$\ell$が$x$軸,$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.原点を$\mathrm{O}$として,三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$g(t)$を$t$の式で表せ.
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{g(t)}{\sqrt{t} \log t}$を求めよ.
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