筑波大学
2011年 理系 第3問
3
![aを0<α<π/2を満たす定数とする.円C:x^2+(y+sinα)^2=1および,その中心を通る直線ℓ:y=(tanα)x-sinαを考える.このとき,以下の問いに答えよ.(1)直線ℓと円Cの2つの交点の座標をαを用いて表せ.(2)等式2∫_{cosα}^1\sqrt{1-x^2}dx+∫_{-cosα}^{cosα}\sqrt{1-x^2}dx=π/2が成り立つことを示せ.(3)連立方程式{\begin{array}{l}y≦(tanα)x-sinα\\x^2+(y+sinα)^2≦1\end{array}.の表すxy平面上の図形をDとする.図形Dをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ.](./thumb/86/1831/2011_3.png)
3
$a$を$\displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする.円$C : x^2 + (y+ \sin \alpha)^2 = 1$および,その中心を通る直線$\ell :y= (\tan \alpha) x - \sin \alpha$を考える.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ.
(2) 等式 \[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \] が成り立つことを示せ.
(3) 連立方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\ x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1 \end{array} \right. \] の表す$xy$平面上の図形を$D$とする.図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ.
(1) 直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ.
(2) 等式 \[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \] が成り立つことを示せ.
(3) 連立方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\ x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1 \end{array} \right. \] の表す$xy$平面上の図形を$D$とする.図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ.
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