東京理科大学
2012年 理工(数・建築・電気電子情報工) 第1問
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次の文章中の$\fbox{ア}$から$\fbox{ヒ}$までに当てはまる数字$0$~$9$を求めよ.ただし,分数は既約分数として表しなさい.
(1) $a$を実数とするとき,方程式 \[ |x|-|x^2-4|+|x+6|=a \] を考える.この方程式の実数解が$2$個であるための条件は \[ a<\fbox{ア},\quad \fbox{イ}<a<\fbox{ウ}\fbox{エ} \] であり,実数解を持たないための条件は \[ a>\fbox{オ}\fbox{カ} \] である.また,次の不等式 \[ |x|-|x^2-4|+|x+6|>2 \] には,正の整数解が$\fbox{キ}$個,負の整数解が$\fbox{ク}$個ある.
(2) 空間内に点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$があり,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき,それぞれの大きさと内積が \[ \begin{array}{l} |\overrightarrow{a}|=9,\quad |\overrightarrow{b}|=12,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{42}, \\ \\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=72,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=57,\quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=48 \end{array} \] であるとする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\displaystyle \frac{1}{\fbox{ケ}} \pi$であり,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{コ}\fbox{サ}}{\fbox{シ}}$である.ベクトル \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \] が$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$\displaystyle s=\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}}$,$\displaystyle t=\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}$のときである.したがって,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\fbox{チ}\fbox{ツ}$である.
(3) 三角関数についての等式 \[ \fbox{テ} \cos^3 \theta-\fbox{ト} \cos \theta-\cos 3\theta=0 \] を利用して,$t$に関する$3$次方程式 \[ \fbox{テ}t^3-\fbox{ト}t-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \] を解いたとき,$\displaystyle \cos \frac{3}{4} \pi$が解の$1$つであることがわかる.したがって,この方程式の残りの$2$つの解は \[ \cos \frac{\fbox{ナ}}{12} \pi=\frac{\sqrt{\fbox{ニ}}+\sqrt{\fbox{ヌ}}}{\fbox{ネ}} \] と \[ \cos \frac{\fbox{ノ}}{12} \pi=\frac{\sqrt{\fbox{ニ}}-\sqrt{\fbox{ヌ}}}{\fbox{ネ}} \] となる.これより, \[ \tan \frac{\fbox{ナ}}{12} \pi=\fbox{ハ}-\sqrt{\fbox{ヒ}} \] となる.
(1) $a$を実数とするとき,方程式 \[ |x|-|x^2-4|+|x+6|=a \] を考える.この方程式の実数解が$2$個であるための条件は \[ a<\fbox{ア},\quad \fbox{イ}<a<\fbox{ウ}\fbox{エ} \] であり,実数解を持たないための条件は \[ a>\fbox{オ}\fbox{カ} \] である.また,次の不等式 \[ |x|-|x^2-4|+|x+6|>2 \] には,正の整数解が$\fbox{キ}$個,負の整数解が$\fbox{ク}$個ある.
(2) 空間内に点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$があり,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき,それぞれの大きさと内積が \[ \begin{array}{l} |\overrightarrow{a}|=9,\quad |\overrightarrow{b}|=12,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{42}, \\ \\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=72,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=57,\quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=48 \end{array} \] であるとする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\displaystyle \frac{1}{\fbox{ケ}} \pi$であり,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{コ}\fbox{サ}}{\fbox{シ}}$である.ベクトル \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \] が$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$\displaystyle s=\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}}$,$\displaystyle t=\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}$のときである.したがって,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\fbox{チ}\fbox{ツ}$である.
(3) 三角関数についての等式 \[ \fbox{テ} \cos^3 \theta-\fbox{ト} \cos \theta-\cos 3\theta=0 \] を利用して,$t$に関する$3$次方程式 \[ \fbox{テ}t^3-\fbox{ト}t-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \] を解いたとき,$\displaystyle \cos \frac{3}{4} \pi$が解の$1$つであることがわかる.したがって,この方程式の残りの$2$つの解は \[ \cos \frac{\fbox{ナ}}{12} \pi=\frac{\sqrt{\fbox{ニ}}+\sqrt{\fbox{ヌ}}}{\fbox{ネ}} \] と \[ \cos \frac{\fbox{ノ}}{12} \pi=\frac{\sqrt{\fbox{ニ}}-\sqrt{\fbox{ヌ}}}{\fbox{ネ}} \] となる.これより, \[ \tan \frac{\fbox{ナ}}{12} \pi=\fbox{ハ}-\sqrt{\fbox{ヒ}} \] となる.
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