静岡大学
2016年 理学部(数) 第3問
3
3
次の各問に答えよ.
(1) $x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し,これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
(2) 関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ \ (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(3) 定積分$I_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する. \[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \] ただし,$e$は自然対数の底である.このとき,次の等式が成り立つことを示せ. \[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (\ast) \]
(4) 等式$(\ast)$を用いて,関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1) $x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し,これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
(2) 関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ \ (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(3) 定積分$I_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する. \[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \] ただし,$e$は自然対数の底である.このとき,次の等式が成り立つことを示せ. \[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (\ast) \]
(4) 等式$(\ast)$を用いて,関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
類題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。