宇都宮大学
2011年 理系 第5問
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座標平面上の直線$y=mx \ (m>0)$を$\ell$とする.点$(1,\ 0)$を$\mathrm{P}_1$とし,$\mathrm{P}_1$から$\ell$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_1$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{P}_2$とする.以下同様に$\mathrm{P}_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$から$\ell$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}_n$,$\mathrm{Q}_n$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{P}_{n+1}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$の面積$S_1$を$m$を用いて表せ.
(2) $\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$の面積を$S_n$とするとき,級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を$m$を用いて表せ.
(3) (2)における$S$が最大になる$m$と,そのときの$S$の値を求めよ.
(1) $\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$の面積$S_1$を$m$を用いて表せ.
(2) $\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$の面積を$S_n$とするとき,級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を$m$を用いて表せ.
(3) (2)における$S$が最大になる$m$と,そのときの$S$の値を求めよ.
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