$\alpha \neq 0$，$\beta \neq 0$として，関数$f_n(x) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を \[ \begin{array}{l} f_1(x)=a_1 \sin \alpha x+b_1 \cos \alpha x \\ f_{n+1}(x)=\beta (f_n(x)+{f_n}^\prime(x)) \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{2}} \end{array} \] と定める．ただし，$a_1$，$b_1$，$\alpha$，$\beta$は実数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $f_n(x)$は$f_n(x)=a_n \sin \alpha x+b_n \cos \alpha x$（$a_n,\ b_n$は実数）の形で表されることを示せ．
(2) $(1)$における$a_n,\ b_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$について，行列$P$を用いて \[ \left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \right) \] と表すとき，行列$P$を求めよ．
(3) $a_1=0$，$b_1=2$，$\alpha=\sqrt{3}$，$\displaystyle \beta=\frac{1}{2}$とするとき，$f_{99}(x)$を求めよ．