筑波大学
2014年 理系 第2問
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![xy平面上の曲線C:y=xsinx+cosx-1(0<x<π)に対して,以下の問いに答えよ.ただし3<π<16/5であることは証明なしで用いてよい.(1)曲線Cとx軸の交点はただ1つであることを示せ.(2)曲線Cとx軸の交点をA(α,0)とする.α>2/3πであることを示せ.(3)曲線C,y軸および直線y=π/2-1で囲まれる部分の面積をSとする.また,xy平面の原点O,点Aおよび曲線C上の点B(π/2,π/2-1)を頂点とする三角形OABの面積をTとする.S<Tであることを示せ.](./thumb/86/1824/2014_2.png)
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$xy$平面上の曲線$C:y=x \sin x+\cos x-1 \ \ (0<x<\pi)$に対して,以下の問いに答えよ.ただし$\displaystyle 3<\pi<\frac{16}{5}$であることは証明なしで用いてよい.
(1) 曲線$C$と$x$軸の交点はただ$1$つであることを示せ.
(2) 曲線$C$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}(\alpha,\ 0)$とする.$\displaystyle \alpha>\frac{2}{3}\pi$であることを示せ.
(3) 曲線$C$,$y$軸および直線$\displaystyle y=\frac{\pi}{2}-1$で囲まれる部分の面積を$S$とする.また,$xy$平面の原点$\mathrm{O}$,点$\mathrm{A}$および曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}-1 \right)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$T$とする.$S<T$であることを示せ.
(1) 曲線$C$と$x$軸の交点はただ$1$つであることを示せ.
(2) 曲線$C$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}(\alpha,\ 0)$とする.$\displaystyle \alpha>\frac{2}{3}\pi$であることを示せ.
(3) 曲線$C$,$y$軸および直線$\displaystyle y=\frac{\pi}{2}-1$で囲まれる部分の面積を$S$とする.また,$xy$平面の原点$\mathrm{O}$,点$\mathrm{A}$および曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}-1 \right)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$T$とする.$S<T$であることを示せ.
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