行列$A=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & x \\ y & z \end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & w \\ w & 0 \end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
[(ア)] $A^2+A+E=O$ [(イ)] $B^2=E$
ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \biggr)$である．
(1) $x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2) (1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める． \begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c} p_0 \\ q_0 \end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$とする． \end{itemize}
[(a)] $\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$は$\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \end{array} \biggr)$のいずれかであることを示せ． [(b)] $\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr)$となる確率を$X_n$，$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \biggr)$となる確率を$Y_n$，$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \end{array} \biggr)$となる確率を$Z_n$とするとき，$X_{n+1},\ Y_{n+1},\ Z_{n+1}$をそれぞれ$Y_n$を用いて表せ．また，$X_n$を$n$を用いて表せ．