関数$f(x)$と$g(x)$を \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} |x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} \\ 0 \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} & (x=0) \end{array} \right. \] \[ g(x)=-x^2+1 \] により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2) $f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3) 方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4) $0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．