東京理科大学
2012年 理(数理情報科) 第2問
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![aを実数とし,関数f(x)=x^3+3ax^2+(3a^2-a)xについて考える.方程式f(x)=0の異なる実数解の個数をkとする.f(0)=0であることに注意せよ.(1)k=1となるようなaの値の範囲を求めよ.(2)k=2となるようなaの値を求めよ.(3)k=3となるようなaの値の範囲を求めよ.(4)aは(3)で求めた範囲にあるとする.方程式f(x)=0の0以外の実数解をα,βとおく.ただし,α<βとする.(i)α<0であることを示せ.(ii)α<β<0であるようなaの値の範囲を求めよ.(iii)α<0<βであるようなaの値の範囲を求めよ.(5)関数f(x)が極大値と極小値をもつようなaの値の範囲を求めよ.\monaが(5)で求めた範囲にあるとき,関数f(x)の極小値をm(a)とおく.aが(5)で求めた範囲を動くときのm(a)の最大値と,最大値を与えるaの値を求めよ.](./thumb/269/256/2012_2.png)
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$a$を実数とし,関数$f(x)=x^3+3ax^2+(3a^2-a)x$について考える.方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を$k$とする.$f(0)=0$であることに注意せよ.
(1) $k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ.
(2) $k=2$となるような$a$の値を求めよ.
(3) $k=3$となるような$a$の値の範囲を求めよ.
(4) $a$は$(3)$で求めた範囲にあるとする.方程式$f(x)=0$の$0$以外の実数解を$\alpha,\ \beta$とおく.ただし,$\alpha<\beta$とする.
(ⅰ) $\alpha<0$であることを示せ.
(ⅱ) $\alpha<\beta<0$であるような$a$の値の範囲を求めよ.
(ⅲ) $\alpha<0<\beta$であるような$a$の値の範囲を求めよ.
(5) 関数$f(x)$が極大値と極小値をもつような$a$の値の範囲を求めよ. $a$が$(5)$で求めた範囲にあるとき,関数$f(x)$の極小値を$m(a)$とおく.$a$が$(5)$で求めた範囲を動くときの$m(a)$の最大値と,最大値を与える$a$の値を求めよ.
(1) $k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ.
(2) $k=2$となるような$a$の値を求めよ.
(3) $k=3$となるような$a$の値の範囲を求めよ.
(4) $a$は$(3)$で求めた範囲にあるとする.方程式$f(x)=0$の$0$以外の実数解を$\alpha,\ \beta$とおく.ただし,$\alpha<\beta$とする.
(ⅰ) $\alpha<0$であることを示せ.
(ⅱ) $\alpha<\beta<0$であるような$a$の値の範囲を求めよ.
(ⅲ) $\alpha<0<\beta$であるような$a$の値の範囲を求めよ.
(5) 関数$f(x)$が極大値と極小値をもつような$a$の値の範囲を求めよ. $a$が$(5)$で求めた範囲にあるとき,関数$f(x)$の極小値を$m(a)$とおく.$a$が$(5)$で求めた範囲を動くときの$m(a)$の最大値と,最大値を与える$a$の値を求めよ.
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