宇都宮大学
2012年 理系 第5問
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![A^2=Oを満たす行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})について,次の問いに答えよ.ただし,Oは零行列である.(1)c≠0のとき,bをaとcを用いて表せ.(2)c=0のとき,aとdの値を求めよ.(3)c=0のとき,X_1=E,X_{n+1}=AX_n+B(n=1,2,・・・)と定める.n≧3のときX_1+X_2+・・・+X_nを求めよ.ただし,E=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array}),B=(\begin{array}{cc}1&1\1&1\end{array})である.](./thumb/95/2200/2012_5.png)
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$A^2=O$を満たす行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$について,次の問いに答えよ.ただし,$O$は零行列である.
(1) $c \neq 0$のとき,$b$を$a$と$c$を用いて表せ.
(2) $c=0$のとき,$a$と$d$の値を求めよ.
(3) $c=0$のとき,$X_1=E,\ X_{n+1}=AX_n+B \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$と定める.$n \geqq 3$のとき \[ X_1+X_2+\cdots +X_n \] を求めよ.ただし,$E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$である.
(1) $c \neq 0$のとき,$b$を$a$と$c$を用いて表せ.
(2) $c=0$のとき,$a$と$d$の値を求めよ.
(3) $c=0$のとき,$X_1=E,\ X_{n+1}=AX_n+B \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$と定める.$n \geqq 3$のとき \[ X_1+X_2+\cdots +X_n \] を求めよ.ただし,$E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$である.
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