早稲田大学
2015年 政治経済学部 第2問
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空間内に,一辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき,次の問に答えよ.
(1) 辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とし,また,辺$\mathrm{OC}$を$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.ただし,$0<k<1$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$k$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|$を$k$を用いて表せ.
(3) 内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$k$を用いて表せ.
(4) $\triangle \mathrm{EAB}$の面積$S$を$k$を用いて表せ.さらに,面積$S$を最小にする$k$の値とそのときの面積を求めよ.
(1) 辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とし,また,辺$\mathrm{OC}$を$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.ただし,$0<k<1$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$k$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|$を$k$を用いて表せ.
(3) 内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$k$を用いて表せ.
(4) $\triangle \mathrm{EAB}$の面積$S$を$k$を用いて表せ.さらに,面積$S$を最小にする$k$の値とそのときの面積を求めよ.
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