東京農工大学
2012年 理系 第2問
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![空間のベクトルベクトルa,ベクトルp,ベクトルqをベクトルa=(1/2,\frac{√3}{2},0),ベクトルp=(1,\frac{√3}{3},1),ベクトルq=(-1,√3,2)で定める.またα=ベクトルp・ベクトルa,β=ベクトルq・ベクトルaとおく.次の問いに答えよ.(1)ベクトルb=ベクトルp-αベクトルaとする.ベクトルbを成分で表せ.(2)ベクトルc=ベクトルq-βベクトルa-\frac{ベクトルq・ベクトルb}{|ベクトルb|^2}ベクトルbとする.ベクトルcを成分で表せ.(3)座標空間の原点をOとする.ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとなる3点A,B,Cに対して,四面体OABCの体積Vを求めよ.](./thumb/186/2349/2012_2.png)
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空間のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ 0 \right),\quad \overrightarrow{p}=\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{3},\ 1 \right),\quad \overrightarrow{q}=(-1,\ \sqrt{3},\ 2) \]
で定める.また$\alpha=\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{a},\ \beta=\overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{a}$とおく.次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{p}-\alpha \overrightarrow{a}$とする.$\overrightarrow{b}$を成分で表せ.
(2) $\displaystyle \overrightarrow{c}=\overrightarrow{q}-\beta \overrightarrow{a}-\frac{\overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2} \overrightarrow{b}$とする.$\overrightarrow{c}$を成分で表せ.
(3) 座標空間の原点を$\mathrm{O}$とする.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$となる3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$に対して,四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ.
(1) $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{p}-\alpha \overrightarrow{a}$とする.$\overrightarrow{b}$を成分で表せ.
(2) $\displaystyle \overrightarrow{c}=\overrightarrow{q}-\beta \overrightarrow{a}-\frac{\overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2} \overrightarrow{b}$とする.$\overrightarrow{c}$を成分で表せ.
(3) 座標空間の原点を$\mathrm{O}$とする.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$となる3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$に対して,四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ.
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コメント(2件)
![]() (1)(2)は計算だけですが、(3)はベクトルa,b,cのどの2つも垂直であることに気づくのが難しいかもしれません。 |
![]() 東京農工大学入試問題2012ベクトル解答教えてください |
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