富山大学
2014年 薬学部 第2問
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点$\mathrm{P}_0$を$xy$平面の原点とし,点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 0)$とする.点$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\cdots$を次のように定める.$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,点$\mathrm{P}_{n-1}$を中心として点$\mathrm{P}_n$を反時計回りに$\theta \ \ (0<\theta<\pi)$だけ回転させた点を$\mathrm{Q}_n$とし,点$\mathrm{P}_{n+1}$を$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{Q}_n}=\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$となるようにとる.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して,
$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \cos k \theta=\frac{1}{2} \left\{ -\sin \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)+\sin \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$
$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \sin k \theta=\frac{1}{2} \left\{ \cos \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)-\cos \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$
が成り立つことを示せ.
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,
$\displaystyle 1+\cos \theta+\cdots +\cos n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ \sin \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\sin \frac{\theta}{2} \right\}$
$\displaystyle \sin \theta+\cdots +\sin n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ -\cos \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\cos \frac{\theta}{2} \right\}$
が成り立つことを示せ.
(3) 点$\mathrm{P}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とおくとき,$x_n$および$y_n$を求めよ.
(4) すべての点$\mathrm{P}_n \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を通る円の方程式を求めよ.
(1) $k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して,
$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \cos k \theta=\frac{1}{2} \left\{ -\sin \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)+\sin \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$
$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \sin k \theta=\frac{1}{2} \left\{ \cos \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)-\cos \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$
が成り立つことを示せ.
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,
$\displaystyle 1+\cos \theta+\cdots +\cos n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ \sin \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\sin \frac{\theta}{2} \right\}$
$\displaystyle \sin \theta+\cdots +\sin n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ -\cos \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\cos \frac{\theta}{2} \right\}$
が成り立つことを示せ.
(3) 点$\mathrm{P}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とおくとき,$x_n$および$y_n$を求めよ.
(4) すべての点$\mathrm{P}_n \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を通る円の方程式を求めよ.
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