動点$\mathrm{P}$が$xy$平面上を図のように$\mathrm{A}_0(0,\ 0)$から，まず$x$軸に沿って$\mathrm{A}_1(2^{10},\ 0)$まで進み，次に左に直角に曲がって$\mathrm{A}_2(2^{10},\ 2^9)$まで進み，さらに左に直角に曲がって$\mathrm{A}_3(2^{10}-2^8,\ 2^9)$まで進む．以下同様に線分の長さが \[ \overline{\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_{n}} \quad (n \geqq 1) \] を満たしながら左に直角に曲がりつつ進むとき，以下の問いに答えよ．
(1) $\overline{\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}}<1$を満たす最小の$n$を求めよ．
(2) 点$\mathrm{A}_6$の座標を求めよ．
(3) 点$\mathrm{A}_{2k} \ \ (k \geqq 1)$の座標を$k$の式で表せ． \imgc{59_2150_2012_1}