日本女子大学
2011年 理学部 第2問
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$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$で,辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{DE}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{F}$とする.ただし,$0<t<1$とする.
(1) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき,内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.
(2) 内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$,$\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$の値を求めよ.
(3) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$t$の式で表せ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$が垂直になるように$t$の値を定めよ.
(1) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき,内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.
(2) 内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$,$\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$の値を求めよ.
(3) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$t$の式で表せ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$が垂直になるように$t$の値を定めよ.
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