$k \geqq 2$と$n$を自然数とする．$n$が$k$個の連続する自然数の和であるとき，すなわち， \[ n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1) \] が成り立つような自然数$m$が存在するとき，$n$を$k$-連続和とよぶことにする．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．
(1) $n$が$k$-連続和であることは，次の条件$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$の両方が成り立つことと同値であることを示せ．
$(\mathrm{A})$ \ \ $\displaystyle \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$は整数である．
$(\mathrm{B})$ \ \ $2n>k^2$が成り立つ．
(2) $f$を自然数とする．$n=2^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$は存在しないことを示せ．
(3) $f$を自然数とし，$p$を$2$でない素数とする．$n=p^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$の個数を求めよ．