千葉大学
2013年 教育学部(算数・技術) 第6問
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![整数p,q(p≧q≧0)に対して2項係数を\comb{p}{q}=\frac{p!}{q!(p-q)!}と定める.なお0!=1とする.(1)n,kが0以上の整数のとき,\comb{n+k+1}{k+1}×(\frac{1}{\comb{n+k}{k}}-\frac{1}{\comb{n+k+1}{k}})を計算し,nによらない値になることを示せ.(2)mが3以上の整数のとき,和\frac{1}{\comb{3}{3}}+\frac{1}{\comb{4}{3}}+\frac{1}{\comb{5}{3}}+・・・+\frac{1}{\comb{m}{3}}を求めよ.](./thumb/146/1726/2013_6.png)
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整数$p,\ q \ (p \geqq q \geqq 0)$に対して$2$項係数を$\displaystyle \comb{p}{q}=\frac{p!}{q!(p-q)!}$と定める.なお$0!=1$とする.
(1) $n,\ k$が$0$以上の整数のとき, \[ \comb{n+k+1}{k+1} \times \left( \frac{1}{\comb{n+k}{k}}-\frac{1}{\comb{n+k+1}{k}} \right) \] を計算し,$n$によらない値になることを示せ.
(2) $m$が$3$以上の整数のとき,和$\displaystyle \frac{1}{\comb{3}{3}}+\frac{1}{\comb{4}{3}}+\frac{1}{\comb{5}{3}}+\cdots +\frac{1}{\comb{m}{3}}$を求めよ.
(1) $n,\ k$が$0$以上の整数のとき, \[ \comb{n+k+1}{k+1} \times \left( \frac{1}{\comb{n+k}{k}}-\frac{1}{\comb{n+k+1}{k}} \right) \] を計算し,$n$によらない値になることを示せ.
(2) $m$が$3$以上の整数のとき,和$\displaystyle \frac{1}{\comb{3}{3}}+\frac{1}{\comb{4}{3}}+\frac{1}{\comb{5}{3}}+\cdots +\frac{1}{\comb{m}{3}}$を求めよ.
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