原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$に対し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\pi$とおく．ただし，$a>0$，$b>0$，$c>0$とする．次の問いに答えなさい．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{P}$が平面$\pi$上にあって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が平面$\pi$と垂直になるように，実数$s,\ t,\ u$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(2) 線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=r \overrightarrow{\mathrm{CM}}$を満たす点であるとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$を最小にする実数$r$の値と，そのときの$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$の値を，それぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(3) $\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$の面積を，それぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表しなさい．