佐賀大学
2011年 理工学部 第4問
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整数$a,\ b,\ c$に対して，行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & a+c-b
\end{array} \biggr)$をとる．次の問いに答えよ．
(1) 行列$Q=\biggl( \begin{array}{cc} s & t \\ 0 & u \end{array} \biggr)$に対して， \[ Q^3-Q=\biggl( \begin{array}{cc} s(s^2-1) & t(s^2+u^2+su-1) \\ 0 & u(u^2-1) \end{array} \biggr) \] となることを示せ．
(2) 整数$x,\ y,\ z$に対して，行列$R=\biggl( \begin{array}{cc} 6x & y \\ 0 & 6z \end{array} \biggr)$をとる．このとき，行列$\displaystyle \frac{1}{6}R^2$の各成分が整数であることを示せ．
(3) $P=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \biggr)$とおくとき，$B=PAP^{-1}$を求めよ．さらに，行列$\displaystyle \frac{1}{6}(B^3-B)^2$の各成分が整数であることを示せ．
(4) 行列$\displaystyle \frac{1}{6}(A^3-A)^2$の各成分が整数であることを示せ．
(1) 行列$Q=\biggl( \begin{array}{cc} s & t \\ 0 & u \end{array} \biggr)$に対して， \[ Q^3-Q=\biggl( \begin{array}{cc} s(s^2-1) & t(s^2+u^2+su-1) \\ 0 & u(u^2-1) \end{array} \biggr) \] となることを示せ．
(2) 整数$x,\ y,\ z$に対して，行列$R=\biggl( \begin{array}{cc} 6x & y \\ 0 & 6z \end{array} \biggr)$をとる．このとき，行列$\displaystyle \frac{1}{6}R^2$の各成分が整数であることを示せ．
(3) $P=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \biggr)$とおくとき，$B=PAP^{-1}$を求めよ．さらに，行列$\displaystyle \frac{1}{6}(B^3-B)^2$の各成分が整数であることを示せ．
(4) 行列$\displaystyle \frac{1}{6}(A^3-A)^2$の各成分が整数であることを示せ．
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