琉球大学
2014年 理系 第2問
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$a,\ b,\ c,\ d$は$a+d=0$，$ad-bc=1$をみたす実数とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1) $A^2=-E$を示せ．
(2) $p,\ q$は実数で$p^2+q^2 \neq 0$をみたすとする．実数$x,\ y$に対して$(pA+qE)(xA+yE)=E$が成り立つとき，$x,\ y$を$p,\ q$で表せ．
(3) $\theta$を実数とする．すべての正の整数$n$に対して \[ \{(\cos \theta)E+(\sin \theta)A \}^n=(\cos n\theta)E+(\sin n\theta)A \] が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ここで，$(\sin \theta)A$は行列$A$の$\sin \theta$倍を表す．
(1) $A^2=-E$を示せ．
(2) $p,\ q$は実数で$p^2+q^2 \neq 0$をみたすとする．実数$x,\ y$に対して$(pA+qE)(xA+yE)=E$が成り立つとき，$x,\ y$を$p,\ q$で表せ．
(3) $\theta$を実数とする．すべての正の整数$n$に対して \[ \{(\cos \theta)E+(\sin \theta)A \}^n=(\cos n\theta)E+(\sin n\theta)A \] が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ここで，$(\sin \theta)A$は行列$A$の$\sin \theta$倍を表す．
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