異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，その$2$点間を次のように移動する点$\mathrm{P}$を考える． \begin{itemize}
点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$上にあるとき，表が出る確率が$\displaystyle \frac{4}{7}$，裏が出る確率が$\displaystyle \frac{3}{7}$であるようなコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$にとどまり，裏が出れば点$\mathrm{B}$に移動する．
点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}$上にあるとき，表が出る確率が$q$，裏が出る確率が$1-q$であるようなコインを投げて，表が出れば$\mathrm{B}$にとどまり，裏が出れば点$\mathrm{A}$に移動する． \end{itemize} 点$\mathrm{P}$は最初に点$\mathrm{A}$上にあるとし，コインを$n$回投げた後に，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$上にある確率を$p_n$で表す（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．このとき，次の問いに答えなさい．
(1) $p_2$を$q$で表しなさい．
(2) $p_{n+1}$を$p_n$と$q$で表しなさい．
(3) $\displaystyle q=\frac{5}{7}$のとき$p_n$を$n$で表しなさい．