東京大学
2015年 理系 第6問
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$n$を正の整数とする.以下の問いに答えよ.
(1) 関数$g(x)$を次のように定める. \[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\cos (\pi x)+1}{2} & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\ 0 & (|x|>1 \text{のとき}) \end{array} \right. \] $f(x)$を連続な関数とし,$p,\ q$を実数とする.$\displaystyle |x| \leqq \frac{1}{n}$をみたす$x$に対して$p \leqq f(x) \leqq q$が成り立つとき,次の不等式を示せ. \[ p \leqq n \int_{-1}^1 g(nx)f(x) \, dx \leqq q \]
(2) 関数$h(x)$を次のように定める. \[ h(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle -\frac{\pi}{2} \sin (\pi x) & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\ 0 & (|x|>1 \text{のとき}) \end{array} \right. \] このとき,次の極限を求めよ. \[ \lim_{n \to \infty} n^2 \int_{-1}^1 h(nx) \log (1+e^{x+1}) \, dx \]
(1) 関数$g(x)$を次のように定める. \[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\cos (\pi x)+1}{2} & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\ 0 & (|x|>1 \text{のとき}) \end{array} \right. \] $f(x)$を連続な関数とし,$p,\ q$を実数とする.$\displaystyle |x| \leqq \frac{1}{n}$をみたす$x$に対して$p \leqq f(x) \leqq q$が成り立つとき,次の不等式を示せ. \[ p \leqq n \int_{-1}^1 g(nx)f(x) \, dx \leqq q \]
(2) 関数$h(x)$を次のように定める. \[ h(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle -\frac{\pi}{2} \sin (\pi x) & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\ 0 & (|x|>1 \text{のとき}) \end{array} \right. \] このとき,次の極限を求めよ. \[ \lim_{n \to \infty} n^2 \int_{-1}^1 h(nx) \log (1+e^{x+1}) \, dx \]
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