聖マリアンナ医科大学
2010年 医学部 第1問
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空間内の四面体$\mathrm{OABC}$について,$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3 \sqrt{2}$,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=4$,$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3$,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{9}{2}$,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{11}{2}$,$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$とする.このとき以下の$\fbox{$1$}$から$\fbox{$9$}$に該当する数値を答えなさい.
$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\fbox{$1$}$,$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\fbox{$2$}$であり,また,$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\fbox{$3$}$である.
$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき,
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\fbox{$4$} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\fbox{$5$} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\fbox{$6$} \overrightarrow{\mathrm{OC}}$である.
$\triangle \mathrm{OAC}$の重心$\mathrm{G}$と点$\mathrm{B}$を結ぶ線分が$\triangle \mathrm{OAD}$と交わる点を$\mathrm{E}$とするとき,
$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\fbox{$7$} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\fbox{$8$} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\fbox{$9$} \overrightarrow{\mathrm{OC}}$である.
なお,この空間の任意のベクトル$\overrightarrow{p}$は,実数$s,\ t,\ u$を用いて,
$\overrightarrow{p}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$
の形に表すことができ,しかも,表し方はただ$1$通りである.
$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\fbox{$1$}$,$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\fbox{$2$}$であり,また,$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\fbox{$3$}$である.
$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき,
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\fbox{$4$} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\fbox{$5$} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\fbox{$6$} \overrightarrow{\mathrm{OC}}$である.
$\triangle \mathrm{OAC}$の重心$\mathrm{G}$と点$\mathrm{B}$を結ぶ線分が$\triangle \mathrm{OAD}$と交わる点を$\mathrm{E}$とするとき,
$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\fbox{$7$} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\fbox{$8$} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\fbox{$9$} \overrightarrow{\mathrm{OC}}$である.
なお,この空間の任意のベクトル$\overrightarrow{p}$は,実数$s,\ t,\ u$を用いて,
$\overrightarrow{p}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$
の形に表すことができ,しかも,表し方はただ$1$通りである.
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