岐阜大学
2013年 理系 第4問
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正の整数$n$について,$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を次で定める.
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x \log x \\
f_{n+1}(x)=(n+1) \int_1^x f_n(t) \, dt+\displaystyle\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array} \]
以下の問に答えよ.ただし,$\log x$は$x$の自然対数とする.
(1) 関数$f_2(x)$を求めよ.
(2) 関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し,それを数学的帰納法で証明せよ.
(3) $g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき,$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ.また,微分係数$g^\prime(1)$を求めよ.
(1) 関数$f_2(x)$を求めよ.
(2) 関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し,それを数学的帰納法で証明せよ.
(3) $g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき,$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ.また,微分係数$g^\prime(1)$を求めよ.
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