宮城教育大学
2014年 教育学部（中等数学） 第5問
5
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関数
\[ f(x)=\int_a^x \left( a+1-|t| \right) e^{-t} \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1) $x \geqq 0$と$x \leqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2) $x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の極値と変曲点を求めよ．
(3) $x \geqq 1$のとき，$e^x>x^2$となることを示せ．また，$\displaystyle g(x)=\int_a^x f(t) \, dt$とおくとき，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)=\int_0^a |f(x)| \, dx$をみたす$a$の値を求めよ．
(1) $x \geqq 0$と$x \leqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2) $x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の極値と変曲点を求めよ．
(3) $x \geqq 1$のとき，$e^x>x^2$となることを示せ．また，$\displaystyle g(x)=\int_a^x f(t) \, dt$とおくとき，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)=\int_0^a |f(x)| \, dx$をみたす$a$の値を求めよ．
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