$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}_0(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}_0(1,\ 0)$がある．ある$p \ (0<p<1)$に対して，点$\mathrm{P}_1(p,\ p)$，$\mathrm{Q}_1(p,\ 0)$を定め，さらに，自然数$n$について点$\mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{Q}_{n+1}$を次のように定める． \begin{itemize}
点$\mathrm{Q}_n$を通り直線$\mathrm{Q}_0 \mathrm{P}_1$と平行な直線と，直線$\mathrm{OP}_0$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
点$\mathrm{P}_{n+1}$を通り$y$軸と平行な直線と，$x$軸の交点を$\mathrm{Q}_{n+1}$とする． \end{itemize} また，$\triangle \mathrm{Q}_{n-1} \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の面積を$S_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) $S_1$を$p$を用いて表せ．
(2) 点$\mathrm{Q}_{n-1}$の$x$座標を$q$とするとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標を$p,\ q$を用いて表せ．
(3) $S_n$を$p,\ n$を用いて表せ．
(4) $n$を定数として，$p$を$0<p<1$の範囲で動かすとき，$S_n$を最大にする$p$とそのときの$S_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(5) (4)で求めた$S_n$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nS_n$を求めよ．必要であれば，自然対数の底$e$について$\displaystyle \lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$が成り立つことを用いてよい．
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