九州工業大学
2012年 工学部 第2問
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四面体OABCは$\displaystyle \text{OA}=1,\ \text{OB}=\sqrt{15},\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{AOC}=\frac{\pi}{3}$を満たしている．線分OAとOBを$s:1-s \ (0<s<1)$に内分する点をそれぞれP，Qとし，$\triangle$CPQの重心をGとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c},\ \angle \text{BOC}=\theta \ (0<\theta < \pi)$として，次に答えよ．
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$は平面ABCに垂直であるとする．
(3) $s$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(4) 線分OGとBCの長さ，および$\angle \text{BAC}$を求めよ．
(5) 四面体OABCの体積$V$を求めよ．
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$は平面ABCに垂直であるとする．
(3) $s$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(4) 線分OGとBCの長さ，および$\angle \text{BAC}$を求めよ．
(5) 四面体OABCの体積$V$を求めよ．
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