京都教育大学
2012年 教育学部 第5問
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関数$f(x)=x^2-2$に対して，$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,\ f(a))$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$g(a)$とおく．ただし，$a>0$とする．また$x_1=4$とし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$x_{n+1}=g(x_n)$とおく．次の問に答えよ．
(1) $y=f(x)$のグラフ上の点$(4,\ 14)$におけるグラフの接線の方程式を求めよ．
(2) どのような自然数$n$に対しても$x_n>0$であることを数学的帰納法によって証明せよ．
(3) $x_3$を求めよ．
(4) どのような自然数$n$に対しても$x_{n+1} \geqq \sqrt{2}$であることを，相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明せよ．
(1) $y=f(x)$のグラフ上の点$(4,\ 14)$におけるグラフの接線の方程式を求めよ．
(2) どのような自然数$n$に対しても$x_n>0$であることを数学的帰納法によって証明せよ．
(3) $x_3$を求めよ．
(4) どのような自然数$n$に対しても$x_{n+1} \geqq \sqrt{2}$であることを，相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明せよ．
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