空間において成分表示された$3$つのベクトルを \[ \overrightarrow{a}=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2},\ 1,\ \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right),\quad \overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1),\quad \overrightarrow{c}=(1,\ 0,\ -1) \] とする．これに対して原点$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが \[ \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}+(\sin t) \overrightarrow{c} \] である点$\mathrm{P}$を考える．次の問に答えよ．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c}$をそれぞれ計算せよ．
(2) $t$が$0$から$2\pi$まで動くとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最大値，最小値とそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．