京都教育大学
2013年 教育学部 第5問
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百の位が$a$，十の位が$b$，一の位が$c$である$1$以上$999$以下の整数がある．ただし，この整数が$99$以下のときは百の位が$0$であるとみなし，さらに$9$以下のときは十の位も$0$であるとみなす．この整数が各位の数の和の$3$乗に等しいとき次の問に答えよ．
(1) $(a+b+c)^3-(a+b+c)$は$9$の倍数であることを証明せよ．
(2) 多項式$(x+y+z)^3-(x+y+z)$を因数分解せよ．
(3) このような整数をすべて求めよ．
(1) $(a+b+c)^3-(a+b+c)$は$9$の倍数であることを証明せよ．
(2) 多項式$(x+y+z)^3-(x+y+z)$を因数分解せよ．
(3) このような整数をすべて求めよ．
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コメント（2件）
2015-07-07 07:11:47
(3)について。x=a,y=b,z=cを(2)に代入すると(a+b+c)^3-(a+b+c)=(a+b+c)(a+b+c+1)(a+b+c-1)となります。(1)より、(a+b+c-1)(a+b+c)(a+b+c+1)（←これは連続する3つの整数の積であることに注意）が9の倍数であることと、1≦a+b+c≦27から、a+b+cがかなり絞れます。整数問題は必要条件で絞っていくイメージを大切にしてください。 |
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2015-07-06 22:40:07
同じく大問１と同じ質問者です。 (３)の出し方がわかりません。 |
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