三重大学
2016年 医学部 第1問
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平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$を考える.$m,\ n$は正の実数とする.
(1) 辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}$とする.このとき${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2$を${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ.さらに \[ \frac{mn}{m+n} {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+(m+n) {|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2=n {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+m {|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2 \] を示せ.
(2) 辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_1$,辺$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_2$,辺$\mathrm{CA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_3$とする.このとき${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2$は \[ \frac{mn}{{(m+n)}^2} \left( {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2 \right)+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \] に等しいことを示せ.
(3) $(2)$の$m,\ n$を変化させたとき \[ {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \] の最大値を${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2$で表せ.
(1) 辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}$とする.このとき${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2$を${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ.さらに \[ \frac{mn}{m+n} {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+(m+n) {|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2=n {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+m {|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2 \] を示せ.
(2) 辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_1$,辺$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_2$,辺$\mathrm{CA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_3$とする.このとき${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2$は \[ \frac{mn}{{(m+n)}^2} \left( {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2 \right)+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \] に等しいことを示せ.
(3) $(2)$の$m,\ n$を変化させたとき \[ {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \] の最大値を${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2$で表せ.
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