信州大学
2015年 工学部 第4問
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次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し,その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている.これを用いて,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ.
(2) 等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように,定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ.
(3) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束,発散について調べ,収束するときはその和を求めよ.
(1) $\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し,その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている.これを用いて,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ.
(2) 等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように,定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ.
(3) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束,発散について調べ,収束するときはその和を求めよ.
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