鳥取大学
2012年 医(医) 第4問
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![3以上の自然数nに対してS_n=Σ_{k=3}^n\frac{logk}{k}(n=3,4,5,・・・)とおいて数列{S_n}を定める.次の問いに答えよ.(1)関数y=\frac{logx}{x}(x>0)の増減と極値を調べよ.(2)4以上の自然数nに対して不等式S_n-\frac{log3}{3}≦∫_3^n\frac{logx}{x}dx≦S_{n-1}が成り立つことを示せ.(3)\lim_{n→∞}\frac{S_n}{(logn)^2}を求めよ.](./thumb/608/2732/2012_4.png)
4
$3$以上の自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める.次の問いに答えよ.
(1) 関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ.
(2) $4$以上の自然数$n$に対して不等式 \[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \] が成り立つことを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ.
(1) 関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ.
(2) $4$以上の自然数$n$に対して不等式 \[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \] が成り立つことを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ.
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