静岡大学
2014年 理(物・化)・工・情報 第4問
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$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする.次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する.$a_1=0$とし,第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば,第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める.そうでないならば,$a_{n+1}=0$と定める.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し,$a_2$を$p$を用いて表せ.
(2) $k$を自然数とする.関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば,関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ.
(3) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ.
(4) 一般項$a_n$を$p$を用いて表せ.
(1) $f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し,$a_2$を$p$を用いて表せ.
(2) $k$を自然数とする.関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば,関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ.
(3) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ.
(4) 一般項$a_n$を$p$を用いて表せ.
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