明治大学
2016年 商学部 第2問
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次の各問の$\fbox{}$に当てはまる数を入れよ.
三角形$\mathrm{ABC}$の内点$\mathrm{O}$をとる.$\mathrm{AO}$,$\mathrm{BO}$,$\mathrm{CO}$をそれぞれ辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$までのばしたときの各交点を$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.ここで,三角形$\triangle \mathrm{ABO}$,$\triangle \mathrm{ACO}$,$\triangle \mathrm{BCO}$の面積が,それぞれ$\triangle \mathrm{ABO}=c$,$\triangle \mathrm{ACO}=b$,$\triangle \mathrm{BCO}=a$とする.
(1) $\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell$とする.$\mathrm{A}$から$\ell$への垂線の長さを$6$,$\mathrm{O}$から$\ell$への垂線の長さを$3$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}=\fbox{ア}$,$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{ABO}}{\triangle \mathrm{BDO}}=\fbox{イ}$である.
(2) 上の$(1)$とは異なる三角形$\mathrm{ABC}$について,$a=8$,$b=10$,$c=6$とする.
$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{CDO}}{\triangle \mathrm{BDO}}=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$だから,$\triangle \mathrm{BDO}$の面積は,$\fbox{オ}$であり,$\triangle \mathrm{CDO}$の面積は,$\fbox{カ}$である.
(3) 同様にして,$\displaystyle \triangle \mathrm{CEO}=\frac{\fbox{キ}\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$,$\displaystyle \triangle \mathrm{AEO}=\frac{\fbox{コ}\fbox{サ}}{\fbox{シ}}$,$\displaystyle \triangle \mathrm{AFO}=\frac{\fbox{ス}\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}$,$\displaystyle \triangle \mathrm{BFO}=\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}$となり,特に
$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{AFO}}{\triangle \mathrm{BFO}} \cdot \frac{\triangle \mathrm{BDO}}{\triangle \mathrm{CDO}} \cdot \frac{\triangle \mathrm{CEO}}{\triangle \mathrm{AEO}}=\fbox{ツ}$
$\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}} \cdot \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{EO}} \cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{FO}}=\frac{\fbox{テ}\fbox{ト}}{\fbox{ナ}}$
である.
三角形$\mathrm{ABC}$の内点$\mathrm{O}$をとる.$\mathrm{AO}$,$\mathrm{BO}$,$\mathrm{CO}$をそれぞれ辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$までのばしたときの各交点を$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.ここで,三角形$\triangle \mathrm{ABO}$,$\triangle \mathrm{ACO}$,$\triangle \mathrm{BCO}$の面積が,それぞれ$\triangle \mathrm{ABO}=c$,$\triangle \mathrm{ACO}=b$,$\triangle \mathrm{BCO}=a$とする.
(1) $\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell$とする.$\mathrm{A}$から$\ell$への垂線の長さを$6$,$\mathrm{O}$から$\ell$への垂線の長さを$3$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}=\fbox{ア}$,$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{ABO}}{\triangle \mathrm{BDO}}=\fbox{イ}$である.
(2) 上の$(1)$とは異なる三角形$\mathrm{ABC}$について,$a=8$,$b=10$,$c=6$とする.
$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{CDO}}{\triangle \mathrm{BDO}}=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$だから,$\triangle \mathrm{BDO}$の面積は,$\fbox{オ}$であり,$\triangle \mathrm{CDO}$の面積は,$\fbox{カ}$である.
(3) 同様にして,$\displaystyle \triangle \mathrm{CEO}=\frac{\fbox{キ}\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$,$\displaystyle \triangle \mathrm{AEO}=\frac{\fbox{コ}\fbox{サ}}{\fbox{シ}}$,$\displaystyle \triangle \mathrm{AFO}=\frac{\fbox{ス}\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}$,$\displaystyle \triangle \mathrm{BFO}=\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}$となり,特に
$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{AFO}}{\triangle \mathrm{BFO}} \cdot \frac{\triangle \mathrm{BDO}}{\triangle \mathrm{CDO}} \cdot \frac{\triangle \mathrm{CEO}}{\triangle \mathrm{AEO}}=\fbox{ツ}$
$\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}} \cdot \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{EO}} \cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{FO}}=\frac{\fbox{テ}\fbox{ト}}{\fbox{ナ}}$
である.
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