空間内に4点O，A，B，Cがあり，次の条件を満たすものとする． \[ \text{OA}=1,\ \text{OB}=1,\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{BOC}=\frac{\pi}{3},\ \angle \text{COA}=\frac{\pi}{4} \] また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，Pは平面OAB上の点で$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されているとする．点Pが$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$を満たして動くとき，以下の問いに答えよ．
(1) 点Cから平面OABに下ろした垂線と平面OABの交点をQとする．したがって，$\text{CQ} \perp \text{OA},\ \text{CQ} \perp \text{OB}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}$と表したとき，$u,\ v$を求めよ．
(2) $\tokeiichi$ \ 内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値をとるときの$x,\ y$の値，最小値をとるときの$x,\ y$の値をそれぞれ求めよ．\\ $\tokeini$ \ $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角$\theta$がとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$が最大値，最小値をとるときの点PをそれぞれP$_1$，P$_2$とおく．点P$_1$，P$_2$はいずれも直線OQ上にあることを示せ．ただし，Qは(1)で定めた点とする．