立教大学
2016年 理学部(個別日程) 第3問
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次の条件を満たす実数の数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える.
\[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n-b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}} \\
b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n+b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}}
\end{array} \right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また,$i$を虚数単位とし,複素数$z_n$を$z_n=a_n+b_n i$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $z_{n+1}=\alpha z_n$となる複素数$\alpha$を求めよ.
(2) $(1)$で求めた複素数$\alpha$を極形式で$\alpha=r(\cos \theta+i \sin \theta)$と表すとき,$r$と$\theta$を求めよ.ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3) $n \geqq 1$に対して,$z_n$を極形式で$z_n=r_n(\cos \theta_n+i \sin \theta_n)$と表すとき,$r_n$と$\theta_n$を$n$を用いて表せ.ただし,$\theta_n \geqq 0$とする.
(4) $a_1+a_2+a_3+a_4$を求めよ.
(5) $N$を自然数とするとき,$\displaystyle \sum_{n=1}^{4N} a_n$を$N$を用いて表せ.
(1) $z_{n+1}=\alpha z_n$となる複素数$\alpha$を求めよ.
(2) $(1)$で求めた複素数$\alpha$を極形式で$\alpha=r(\cos \theta+i \sin \theta)$と表すとき,$r$と$\theta$を求めよ.ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3) $n \geqq 1$に対して,$z_n$を極形式で$z_n=r_n(\cos \theta_n+i \sin \theta_n)$と表すとき,$r_n$と$\theta_n$を$n$を用いて表せ.ただし,$\theta_n \geqq 0$とする.
(4) $a_1+a_2+a_3+a_4$を求めよ.
(5) $N$を自然数とするとき,$\displaystyle \sum_{n=1}^{4N} a_n$を$N$を用いて表せ.
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