山梨大学
2013年 工学部・生命環境(生命工) 第4問
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![関数f(x)を次のとおりに定める.f(x)={\begin{array}{ll}e^{-\frac{1}{1-x^2}}&(|x|<1 のとき )\0&(|x|≧1 のとき )\end{array}.(1)\lim_{x→1-0}f(x),\lim_{x→-1+0}f(x)を求めよ.(2)K=∫_{-1}^1f(t)dt,F(x)=1/K∫_{-1}^xf(t)dtとする.このとき,F(0)を求めよ.(3)関数y=F(x)の増減を調べ,グラフの概形をかけ.(4)関数y=F(x)-F(0)が奇関数であることを示せ.(5)定積分∫_{-1}^2F(x)dxを求めよ.](./thumb/370/2439/2013_4.png)
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関数$f(x)$を次のとおりに定める.
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{1-x^2}} & (|x|<1 \text{のとき}) \\
0 & (|x| \geqq 1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)$,$\displaystyle \lim_{x \to -1+0}f(x)$を求めよ.
(2) $\displaystyle K=\int_{-1}^1 f(t) \, dt$,$\displaystyle F(x)=\frac{1}{K} \int_{-1}^x f(t) \, dt$とする.このとき,$F(0)$を求めよ.
(3) 関数$y=F(x)$の増減を調べ,グラフの概形をかけ.
(4) 関数$y=F(x)-F(0)$が奇関数であることを示せ.
(5) 定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 F(x) \, dx$を求めよ.
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)$,$\displaystyle \lim_{x \to -1+0}f(x)$を求めよ.
(2) $\displaystyle K=\int_{-1}^1 f(t) \, dt$,$\displaystyle F(x)=\frac{1}{K} \int_{-1}^x f(t) \, dt$とする.このとき,$F(0)$を求めよ.
(3) 関数$y=F(x)$の増減を調べ,グラフの概形をかけ.
(4) 関数$y=F(x)-F(0)$が奇関数であることを示せ.
(5) 定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 F(x) \, dx$を求めよ.
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