立教大学
2012年 経済(経済、会計)・観光(観光)・コミュ(スポーツ) 第1問
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次の空欄ア~サに当てはまる数または式を記入せよ.
(1) $\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$のとき,$x^3+y^3$の値は$\fbox{ア}$である.
(2) 互いに異なる定数$a,\ b,\ c$が$\displaystyle \frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}$を満たすとき,$\displaystyle \frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}$のとる値は$\fbox{イ}$である.ただし,$abc \neq 0$とする.
(3) 白玉$3$個と黒玉$3$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し,色を調べてもとに戻す.この試行を$3$回繰り返すとき,白玉を$2$回取り出す確率は$\fbox{ウ}$である.
(4) 整式$P(x)$を$x-1$で割った余りが$-2$,$x-2$で割った余りが3,$x-3$で割った余りが8ならば,$P(x)$を$(x-1)(x-2)(x-3)$で割った余りは$\fbox{エ}$である.
(5) 数列$\{a_n\}$は$a_1=-7$と漸化式$2a_{n+1}=3a_n+8 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている.この数列の一般項は$a_n=\fbox{オ}$である. 平行四辺形ABCDにおいて,辺ABを$2:1$に内分する点をE,辺BCの中点をF,辺CDの中点をGとする.線分CEと線分FGの交点をHとすると,$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\fbox{カ}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\fbox{キ}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$となる. 関数$f(x)=x^2-2ax+a+6$がすべての実数$x$に対して$f(x)>0$を満たすならば,定数$a$の値の取りうる範囲は,$\fbox{ク}<a<\fbox{ケ}$となる. 関数$f(x)=ax^2+bx+1$が$f(1)=-6$と$\displaystyle \int_0^3 \{ f^\prime(x) \}^2 \, dx=63$を満たすならば,定数$a,\ b$の値は$a=\fbox{コ},\ b=\fbox{サ}$である.ただし,$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す.
(1) $\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$のとき,$x^3+y^3$の値は$\fbox{ア}$である.
(2) 互いに異なる定数$a,\ b,\ c$が$\displaystyle \frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}$を満たすとき,$\displaystyle \frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}$のとる値は$\fbox{イ}$である.ただし,$abc \neq 0$とする.
(3) 白玉$3$個と黒玉$3$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し,色を調べてもとに戻す.この試行を$3$回繰り返すとき,白玉を$2$回取り出す確率は$\fbox{ウ}$である.
(4) 整式$P(x)$を$x-1$で割った余りが$-2$,$x-2$で割った余りが3,$x-3$で割った余りが8ならば,$P(x)$を$(x-1)(x-2)(x-3)$で割った余りは$\fbox{エ}$である.
(5) 数列$\{a_n\}$は$a_1=-7$と漸化式$2a_{n+1}=3a_n+8 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている.この数列の一般項は$a_n=\fbox{オ}$である. 平行四辺形ABCDにおいて,辺ABを$2:1$に内分する点をE,辺BCの中点をF,辺CDの中点をGとする.線分CEと線分FGの交点をHとすると,$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\fbox{カ}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\fbox{キ}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$となる. 関数$f(x)=x^2-2ax+a+6$がすべての実数$x$に対して$f(x)>0$を満たすならば,定数$a$の値の取りうる範囲は,$\fbox{ク}<a<\fbox{ケ}$となる. 関数$f(x)=ax^2+bx+1$が$f(1)=-6$と$\displaystyle \int_0^3 \{ f^\prime(x) \}^2 \, dx=63$を満たすならば,定数$a,\ b$の値は$a=\fbox{コ},\ b=\fbox{サ}$である.ただし,$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す.
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