愛知工業大学
2016年 理系 第1問
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次の$\fbox{}$を適当に補え.$(6)$,$(7)$は選択問題である.
(1) $a$を定数とする.不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$\fbox{ア}$である.また,不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$\fbox{イ}$である.
(2) 数列$\{a_n\}$は関係式 \[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] をみたすとする.このとき,$a_4=\fbox{ウ}$であり,$a_n=\fbox{エ}$である.
(3) $\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=\fbox{オ}$である.
(4) $a$を定数とし,$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする.区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき,$a=\fbox{カ}$である.またこのとき,区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$\fbox{キ}$である.
(5) $\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする.$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=\fbox{ク}$であり,このとき,$z^n=\fbox{ケ}$である.ただし,$i$は虚数単位である. $1$枚の硬貨を投げ,表が出たときは白球$1$個を壺に入れ,裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる.硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている.
(ⅰ) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$\fbox{コ}$である.
(ⅱ) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき,それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$\fbox{サ}$である.
等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=\fbox{シ}$である.
(1) $a$を定数とする.不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$\fbox{ア}$である.また,不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$\fbox{イ}$である.
(2) 数列$\{a_n\}$は関係式 \[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] をみたすとする.このとき,$a_4=\fbox{ウ}$であり,$a_n=\fbox{エ}$である.
(3) $\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=\fbox{オ}$である.
(4) $a$を定数とし,$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする.区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき,$a=\fbox{カ}$である.またこのとき,区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$\fbox{キ}$である.
(5) $\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする.$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=\fbox{ク}$であり,このとき,$z^n=\fbox{ケ}$である.ただし,$i$は虚数単位である. $1$枚の硬貨を投げ,表が出たときは白球$1$個を壺に入れ,裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる.硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている.
(ⅰ) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$\fbox{コ}$である.
(ⅱ) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき,それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$\fbox{サ}$である.
等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=\fbox{シ}$である.
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